一次方程式解法

目前在中学数学课程的一次方程式单元，都涉及数学应用到现实世界的问题。因此，当我们发现历史上，几乎学习过数学的每一个人，从埃及的书记到中国的官吏都曾经发展出这类问题的求解技巧时，就没什幺好惊讶的！

这些求解实质上都採用算术进路（arithmetic approach），也就是，他们都运用了算术的想法，解决实质上是代数的方程式问题。不约而同地，古埃及和古中国数学家都利用了所谓的「虚位法」（method of false position），有所不同地，是古埃及使用「单设法」(method of single false position)，而古中国则使用「双设法」(method of double false position)。

古埃及的单设法记载在《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus），这份珍贵文本可能是古埃及时用来训练年轻书记的数学问题集，其中就包含了几个这类型的问题。其中，有一个简单的例子引述如下：「有一个量，它的一半和它的三分之一与它加在一起后变成10。」如果运用我们现在的符号来表示的话，它就成了如下的方程式：

$$x+{\frac{1}{2}}x+{\frac{1}{3}}x=10$$

然而，这样的符号法则直到十七世纪才出现。这个书记被教导该如何解这个问题，就如同我们现在所作的：将 $$10$$ 除以 $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$。

不过，这类问题在《莱因德纸草书》中，却以一种相当不同的方法来解决，例如针对「一个量，它的四分之一加上它后等于 $$15$$」书记显然运用下面的步骤，来取代 $$15$$ 除以 $${1}\frac{1}{4}$$：他假设这个量是 $$4$$，（为何是 $$4$$？因为很容易计算 $$4$$ 的四分之一。）如果你将 $$4$$ 和它的四分之一加在一起，你会得到 $$4+1=5$$，所以，我们要的是 $$15$$，但却得到 $$5$$；我们必将得到的数（也就是 $$5$$）乘以 $$3$$，才能得到我们要的数（也就是 $$15$$）。接着，将我们猜测的数字乘上 $$3$$。由于我们猜测的数字是 $$4$$，所以，答案是 $$3\times 4=12$$。

上述这种样方法，就是前述的单设法。在斐波那契（Fibonacci）的《计算书》（Liber abaci）中，我们可以看到有关此一方法相当详尽的举例说明。这个方法的一般原则如下：我们假定一个答案，并不真的期望它就是正确解答，但是，它可以使得计算容易一点。然后，利用这个猜测所得的不正确结果去找出一个倍数，使得我们猜测的数乘上它以后，会获得正确的答案。

至于前述的双设法，就是将单设法延拓，它还是用以求解一次方程式，但是，仍然而没有代数符号的操作。在解决线性方程式的问题上，这是一个相当有效率的方法，以致于在代数符号法则出现之后的一段很长时间内，仍然被广泛持续使用。

事实上，由于它不要求任何代数技巧，一直到19世纪，欧美算术教科书还一直教导这个方法，譬如美国出版的《校长的好帮手》（Daboll’s Schoolmaster’s Assistant, 1837）就有如下例题：「将一钱袋中的 $$100$$ 美元分给 $$A$$、$$B$$、$$C$$ 和 $$D$$ 四个人，如果 $$B$$ 要比 $$A$$ 多 $$4$$ 元，$$C$$ 比 $$B$$ 多 $$8$$ 元，而 $$D$$ 所得是 $$C$$ 的两倍，那幺每一个人可以分得多少钱？」

应用现代方法来解此一问题，假设 $$A$$ 所得的量为 $$x$$，那幺  $$B$$ 得  $$x+4$$，$$C$$ 得 $$(x+4)+8=x+12$$，$$D$$ 得 $$2(x+ 12)$$。由于总钱数为 $$100$$ 元，可得方程式：$$x + (x + 4) + (x + 12)+2(x + 12) = 100$$。接着，可用一般方法来解决这个问题。

然而，在《校长的好帮手》中，则是推荐如下方法：先随便猜测一个数字，例如 $$A$$ 得到 $$6$$ 元，那幺 $$B$$ 得到 $$10$$ 元，$$C$$ 得到 $$18$$ 元，$$D$$ 得到 $$36$$ 元。将这些数量加起来，总共得到 $$70$$ 元；如此我们短缺了 $$30$$ 元。所以，再试一次。这一次，我们猜测大一点的数字，例如 $$A$$ 得到 $$8$$ 元，那幺 $$B$$ 得到 $$12$$，$$C$$ 得到 $$20$$，$$D$$ 得到 $$40$$，总共为 $$80$$ 元，这个结果依然是错的，少了 $$20$$ 元。

现在，神奇的部分来了，列出两个猜测与误差的数字。将他们交叉相乘：$$6\times 20$$ 得到 $$120$$，$$8\times 30$$ 得到 $$240$$；将它们相减，$$240-120 = 120$$；将它除以两个误差间的差，在此为 $$10$$，于是，$$A$$ 的正确所得量即是 $$120/10=12$$。《校长的好帮手》解释说：这是当两个误差是同类型时（在本例中，两者都是低估），吾人所採用的步骤与作法。如果它们是不同类型时，我们可以用两个乘积的和，并且除以两个误差间的和。

现代的读者对这个方法通常会有一点迷惑：为什幺它行得通？也许利用一些图像思考会是分析它的最好方法。给定方程式 $$x+ (x + 4) + (x+ 12)+2(x + 12) = 100$$，不管等号左边的式子化简之后的结果是什幺，这个方程式都会像是 $$mx+b=100$$ 这样的形式，所以，我们可以将它想像成：有一条直线 ，我们想要决定当 $$y=100$$ 时，$$x$$ 的值为多少。

此时，需要两个点来决定这条直线，而两个猜测值给了我们这两个点：$$(6, 70)$$ 与 $$(8, 80)$$ 都在这一条直线上。我们想要找到使 $$(x, 100)$$ 也在这条直线上的 $$x$$ 值。因为这条被已知两点唯一决定的直线之斜率固定，所以，所得到的答案 $$x$$ 将会一致的。事实上，在前三点中，任意两点所决定的斜率一定相等，故有下列方程式：

$$\displaystyle\frac{100-70}{x-6}=\frac{100-80}{x-8}$$ 或 $$\displaystyle\frac{30}{x-6}=\frac{20}{x-8}$$

其中，分子刚好就是我们之前有的两个误差。

交叉相乘，得到 $$30(x-8)=20(x-6)$$，化简得 $$(30-20)x=(30\times 8)-(20\times 6)$$

也就是说，$$\displaystyle x=\frac{(30\times 8)-(20\times 6)}{30-20}=\frac{120}{10}=12$$

这个结果刚好与双设法的计算过程一模一样。

当然，我们将方程式理解成直线的具有「现代性」（modernity）的方法，还是相当晚近的事（回溯到17世纪而已），而双设法却是非常非常久远的历史记忆了。

事实上，这条直线的斜率并不需要真地计算出来，我们甚至不必将这些比值想任何图像意义上的斜率。我们所需要知道的，只是输入值的变化与输出值的变化成比例，而这也就是所谓「线性」的本质所在。这一点古代数学家显然得以真正体会，而对于今日国内之高中学生而言，也是值得大力推荐的学习题材，儘管他们在国中阶段已经熟知一次方程式解法。

最后，我们简略介绍中国古代的双设法，聊供读者发思古之幽情。在公元前186年埋葬的西汉竹简《筭数书》（由不知名的地方小吏所抄写）中，有一个例题如下：「分钱人二而多三，人三而少二。问几何人？钱几何？」答案：「五人，钱十三。」

至于解法则如下：「赢、不足互乘母以为实，子相从为法。」

按本题的赢母 $$=2$$，赢子 $$=$$ 多 $$3$$，不足母 $$=3$$，不足子 $$=$$ 少 $$2$$。
于是，利用「赢（盈）不足术」（古中国版的双设法）可得：
原人数 $$=$$（赢子 $$+$$ 不足子）$$/$$（赢母与不足母相减）$$=5$$（人）；
原钱数 $$=$$（赢子 $$\times$$ 不足母 $$+$$ 不足子 $$\times$$ 赢母）$$/$$（赢母与不足母相减）$$=13$$（钱）。

另外，还有一个例题如下：「田一亩，方几何步？」亦即给定一块正方形田地，面积为 $$1$$ 亩（$$=240$$ 平方步），求它的边长。因此，这个问题的求解相当于求 $$240$$ 的平方根 $$\sqrt{240}$$。

非常有趣的是：本书竟然利用「赢（盈）不足术」来求解：
由于 $$15^2-240=-15$$、$$16^2-240=16$$，所以，本题之答案（近似值）为
〔不足子（$$15$$）$$\times$$ 赢母（$$16$$）$$+$$ 赢子（$$16$$）$$\times$$ 不足母（$$15$$）〕$$\div$$〔赢子 $$+$$ 不足子〕
$$= (15\times{16}+16\times 15)/(16+15)=15+(15/31)$$

换句话说，在两千多年前，西汉地方小吏不仅利用「赢（盈）不足术」，来求解可以化约为一次方程式的问题，竟然也利用同一方法来求平方根的近似值。在世界数学史上，利用上述方法以求平方根之近似值，目前仅见于中国古代这一部珍贵数学文本，这是非常值得注意的历史现象。

到了东汉初，另一部中国算经《九章算术》则将「盈不足术」列为第七章，给予更加系统性的彙编，因而「盈不足术」遂成为中国传统数学的正统方法之一。一直到清末，此一方法可以作为算术学习转向代数学习的一个极佳之过渡，才被数学家华蘅芳注意到，并写入他的《学算笔谈》之中。

参考文献：